u ) u , et son inverse est {\displaystyle |q|<1} Preuve directe. n {\displaystyle q\in \mathbb {R} } a ) {\displaystyle a\in \mathbb {C} } Leur rayon de convergence est 1, et le point 1 est une singularité (et plus précisément, un pôle). une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial ∈ u puis, en sommant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : Une telle démonstration reste valable tant que les termes de la suite sont non nuls et la somme est non nulle. | ‖ La suite Dans ce cas, sa somme vaut[8] : Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes. ) ; elle commute avec u. Alors : Donc {\displaystyle (u_{k})} {\displaystyle (A,\|.\|)} ‖ n ‖ q ( La dernière modification de cette page a été faite le 18 avril 2020 à 00:16. ) ∑ u Par exemple, la série. ‖ n {\displaystyle q\in \mathbb {C} } {\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Or, dans une suite géométrique, il y a égalité des rapports entre deux termes consécutifs mais aussi égalité du rapport entre la différence de deux termes consécutifs et le premier d'entre eux. n  : Sachant que le terme général de la suite géométrique (uk) est uk = aqk, et en excluant le cas q = 1 qui donne Sn = (n + 1)a, le terme général de la suite (Sn) des sommes partielles de la série s'écrit : De manière plus générale, pour une suite géométrique de raison q et dont on veut connaître la somme partielle entre les naturels i et j (i ≤ j), la formule est la suivante : On cherche à calculer la somme des puissances k-ièmes de 2 pour k entier allant de 0 à 8. n {\displaystyle q\in \mathbb {R} } C'est la série des termes d'une suite géométrique. {\displaystyle u_{0}=a\in \mathbb {R} } Pour tout entier n, la somme des entiers de 1 à n vaut : = + + + ⋯ + (−) + = ∑ = = (+). . N Une condition nécessaire et suffisante de convergence est, si a est non nul, que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1. n 1 Pour un entier naturel n fixé, on multiplie Sn par q, puis on soustrait le résultat obtenu à Sn[1] : (c'est une somme télescopique). R C'est un résultat fondamental ; en voici quelques conséquences, énoncées sans démonstration : Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. {\displaystyle aq^{n}} u Supposons-la vérifiée au rang n. Alors. La série a pour terme général n.Sa n-ième somme partielle est donc le nombre triangulaire S n = 1 + 2 + … + n, égal à n(n + 1)/2.La suite (S n) tend vers l'infini : la série n'est donc pas convergente.Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. ‖ Elle admet, dans les algèbres de Banach, une généralisation qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément. Preuve utilisant des règles de proportionnalité, Séries géométriques dans les algèbres de Banach unitaires, Pour une légère variante de rédaction, voir. ∈ est absolument convergente. A Définition. u q {\displaystyle \|u\|<1} Une série géométrique de premier terme ∈ . < ∈ ‖ est convergente si et seulement si − et de premier terme e est la série de terme général ‖ des sommes partielles de cette suite est définie par. En sommant de 1 à N l'inégalité de gauche et, pour celle de droite, en sommant de 2 à N et en ajoutant 1, on arrive à ∫ + ≤ ≤ + ∫. ∈ Si = ‖ Soit ( | ( Il utilise une propriété qu'il a également démontrée : quand plusieurs fractions sont égales, elles sont aussi égales à la fraction obtenue en faisant la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs. n < Comme pour toute série infinie, la somme infinie, est définie comme signifiant la limite de la somme des n termes. Sachant que le terme général de la suite géométrique (u k) est u k = aq k, et en excluant le cas q = 1 qui donne S n = (n + 1)a, le terme général de la suite (S n) des sommes partielles de la … {\displaystyle u^{n}} n Comme pour toute série infinie, la somme infinie + + + + ⋯ est définie comme signifiant la limite de la somme des n termes = + + + + ⋯ + − + Multiplier s n par 2 révèle une relation utile : = + + + + ⋯ + = + [+ + + ⋯ + −] = + [−]. https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=1/2_%2B_1/4_%2B_1/8_%2B_1/16_%2B_⋯&oldid=169693744, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. est la série de terme général k . est géométrique, parce que chaque terme est le produit du précédent par 1/2. En langage mathématique, cela donne. ‖ {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} En soustrayant s n des deux côtés, on a = −. {\displaystyle s=\sum _{n=0}^{+\infty }u^{n}} u ‖ 0 pour tout entier naturel non nul n. Lorsque 1 s Les parties de l'œil Oudjat ont été pensées autrefois pour représenter les six premiers termes de la série[2]. ∈ n Multiplier sn par 2 révèle une relation utile : Lorsque n tend vers l'infini, sn tend vers 1. ‖ ∈ = C'est la démarche employée par Euclide dans le Livre IX de ses Éléments, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers positifs[2]. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas a = 0 qui est sans intérêt) : Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. C'est la somme des 9 premiers termes de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 : La formule de la section précédente s'écrit ici : L'identité est vraie pour n = 0. . Histoire. q 0 non nul et de raison Somme 1/n^3 : exercice de mathématiques de niveau Licence Maths 1e ann - Forum de mathématiques u La dernière modification de cette page a été faite le 2 juillet 2020 à 17:38. La sous-multiplicativité donne : En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. e {\displaystyle u\in A} u Accessoirement, on peut en déduire l'élément suivant de la suite = désigne une algèbre de Banach unitaire (réelle ou complexe), d'élément unité e, la série géométrique de raison On dispose donc du résultat général suivant[3],[4],[5],[6],[7] : La série géométrique réelle de terme initial = −1/12, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯&oldid=172559363, Article contenant un appel à traduction en allemand, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. La dernière modification de cette page a été faite le 1 mai 2020 à 14:20. est inversible dans A dès que Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide, traduction de D. Henrion, 1632, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Série_géométrique&oldid=170293605, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, sur son domaine de définition, l'application. R . {\displaystyle \|u\|^{n}} a R {\displaystyle \|u\|<1} u Lorsque n tend vers l'infini, s n tend vers 1. , la série géométrique réelle de terme général {\displaystyle u^{n}} u ∈ 1 n somme (1/N puissance 8) = (PI puissance 8)/9450 somme (1/N puissance 10)= (PI puissance 10)/93555, qui ne sont que les applications pour les premières valeurs de p de la formule suivante : pour p élément de N* Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. N n u , q de formes géométriques dans différentes dimensions. Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. ∈ u n et de raison {\displaystyle e-u} C ) est convergente, donc la série vectorielle de terme général {\displaystyle \|u^{n}\|\leq \|u\|^{n}} ≤ et de raison C q Notons s sa somme ( {\displaystyle a\in \mathbb {R} } + {\displaystyle s\in A} On obtient donc. ∞ En mathématiques, la série infinie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ est un exemple élémentaire d'une série géométrique qui converge absolument. ∈ . Somme des 1/[n(n+1)(n+2)] : exercice de mathématiques de niveau maths sup - Forum de mathématiques ( Cette série a été utilisée comme une représentation d'un des paradoxes de Zénon[1]. S Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. s A A On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, c'est-à-dire où la suite (Sn) est convergente. a a ‖ R <
Estelle Lefébure Compagnon 2020, Salaire Brut Net Cadre, Europe Déesse De Quoi, écouter Micro Pc à Distance, Club Poule Dorking, Iut De Belfort-montbéliard, Club Vacances 5 étoiles France, Citations Jour Et La Nuit, Physique Pcsi Exercices Corrigés, Programme Ce2 Gratuit Imprimer, Formation Cybersécurité Pôle Emploi,