(Pour les plaintes, utilisez Question 4Le nombre de couples de parties de telles que est égal à Vrai ou Faux ? 4. Question 1Quel est le nombre de façons de régler au café une somme de euros en n’utilisant que des pièces de 1 et 2 euros ? 6. Soit un ensemble de cardinal . Le problème a une solution ssi l’on peut choisir les images dans un ensemble de éléments donc ssi ssi .Il y en a . Il y a façons de placer personnes autour d’une table ronde, 12. On écrit en posant , . alors , les ensembles étant 2 à 2 disjoints, . Ici seront consignées au fur et à mesure de notre progression les feuilles d'exercices que je vous distribuerai en classe, ainsi que des corrigés de tous les exercices. Montrer que . Dans le deuxième cas, c’est le nombre de 4-listes sans répétition des 6 chiffres de 1 à 5  soit. Exercice 2On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. On dit que est une involution de lorsque vérifie .Si , on note  , l’ensemble des involutions de et .Question 1Toute involution est une bijection. Correction : Le nombre de façons de choisir un groupe de élèves dans une classe de élèves pour faire un exposé est le nombre de parties à éléments parmi soit . Question 2Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à . On note l’ensemble des parties de formées de éléments dans et dans . L’utilisation la plus fréquente est dans le cas et on obtient  car . On choisit un roi qui n’est pas de trèfle ( choix), deux trèfles différents du roi de façons. Exercice 4Quel est le nombre de mains de 4 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 trèfles ? Correction : Le nombre de façons d’obtenir une boule blanche puis une rouge puis une verte est égal à .Le nombre de façons d’obtenir un tirage tricolore est égal à (car on a façons de choisir l’ordre de tirage des trois couleurs). Question 2 Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à . Même question si les chiffres doivent être distincts . Montrer que, pour tout entier . 7. Correction : On note l’ensemble des parties de formées de éléments. Mots de lettres à partir de et 8. Correction : On choisit 2 as parmi 4 de façons. Pour déterminer ,  on choisit une partie ayant éléments de façons. Cest très important pour nous! 2. Les ensembles sont2 à 2 disjoints. Vous pouvez ajouter ce document à votre liste sauvegardée. Il faut justifier vos résultats. ), Entrez-le si vous voulez recevoir une réponse, Corrigé de l`exercice 16 de la feuille de TD no 4, Terminale STI - Bac - Exercice 21 - Correction - XMaths. La même partition étant obtenue 2 fois, le nombre de partitions est égal à . Exercice 8On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de physique, et 3 de chimie. Quel est le nombre de grilles au loto (5 numéros de 1 à 49 et 1 numéro chance de 1 à 10) ? Quel est le nombre d’anagrammes du mot « ENTENTE ». Se donner un élément de revient à choisir une partie de éléments dans ce qui se fait de façons et à lui ajouter . Vrai ou Faux ? est appelé le -ième nombre de Catalan. Correction : On note l’ensemble des solutions entières de cette équationet si l’ensemble des solutions entières telles que .On écrit .Les ensembles sont2 à 2 disjoints. Il y a parties de non vides et différentes de . Exercice 7Quel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 1 roi et au moins un pique. Dénombrement des involutions10. Un peu plus élaborés, mais pas trop3. Question 1 Quel est le nombre de façons de régler au café une somme de euros en n’ut… ,  Il est évident que est une bijection donc . Correction :  Le nombre de tirages monocolores est égal au nombre de tirages blancs plus le nombre de tirages rouges plus le nombre de tirages verts soit                          . En posant , Par application de l’exercice 1 du § I. Deuxième méthode. , on a ainsi écrit une partition de donc . Question 3On tire maintenant les jetons 2 par 2 sans remise. (Q 1) Soient A,B,Ctrois ensembles finis. La somme des cardinaux des parties de est égale à, Exercice 4Soit un ensemble de cardinal . Quel est le nombre de tiercés (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux ? et sont des mots de Dyck, alors que et n’en sont pas.Pour tout entier , on désigne par le nombre de mots de Dyck de lettres. Question 9Soit un ensemble de éléments. 3. Question 2Le nombre de solutions entières de l’inéquation  est égal à . ⚠️ à ne pas confondre avec le nombre de couples de parties de telles que et qui est égal à car c’est le nombre de couples où . Correction : Pour se donner une telle application, on définit une application strictement croissante de dans , il y a applications de ce type et on impose . Correction : On écrit .On a une réunion d’ensembles 2 à 2 disjoints, donc soit . C’est l’ensemble des mains contenant le roi de trèfle, un autre roi et autres trèfles. Question 4La relation de la question 3 est encore vraie si l’on convient que . Équations entières et suites croissantes 7. Soit . est en bijection avec par la question 1. Un exercice sur les surjections9. Question 1Soit . on choisit : il y a façons de le fairedonc . L’application est surjective. ⚠️ Aviez -vous pensé à écrire que les deux ensembles sont disjoints ? On suppose que est vraie.Par la formule  Par : par le triangle de Pascal : ce qui prouve . On écrit . Même question si les consonnes doivent être distinctes. Si est fixé, on note  , . Quel est le nombre de façons de ranger les éléments de de façon à ce que les éléments 1 à soient côte à côte. Mots de Dyck. Correction : On note l’ensemble des solutions entières de cette équation et si l’ensemble des solutions entières telles que . Vrai ou Faux ? Quel est le nombre d’entiers de chiffres contenant un seul et un seul ? (Q 1) Soient A, B, C trois ensembles finis. Correction : Soit . Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à ? Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à ? Puis on détermine le nombre d’applications strictement croissantes de dans . ⚠️ Dans tous les exercices ne vous contentez pas d’une valeur numérique. 13. Quel est le nombre de mots de passe de 4 lettres formés uniquement de consonnes ? 01 - Formalisme, logique élémentaire, ensembles, 47 Probabilités que deux entiers soient premiers entre eux, COURS 1S EXPERIENCE ALEATOIRE ET PROBABILITES 1 16 18, Agrégation interne 2015/2016 Matrices `a coefficients dans un corps, 1 Probabilités-Rappel 2 Union - Intersection, © 2013-2020 studylibfr.com toutes les autres marques commerciales et droits dauteur appartiennent à leurs propriétaires respectifs. Pour déterminer ,  On choisit une partie de ayant éléments de façons. Pour accéder aux cours complets, annales et aux corrigés de tous les exercices car on choisit les moments parmi où l’on rentre les pièces de euros. Déterminer le nombre de partitions de en parties. Quel est le nombre de façons de ranger les éléments d’un ensemble. Question 2Le nombre de couples de parties de telles que est égal à ? Dans le deuxième cas, c’est le nombre de 4-listes sans répétition des 20 consonnes soit . Vous pouvez ajouter ce document à votre ou vos collections d'étude. Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 15 Dénombrement Ensembles et cardinal d’un ensemble Exercice 1 : [indications] Le crible. ,  Il est évident que est une bijection donc . 2ème méthode : On note l’ensemble des tels que .Si , on définit  avec par télescopage : .Donc . On choisit : il y a façons de le faire.Donc . Correction : On note l’ensemble des éléments de qui se terminent par donc qui se terminent par et l’ensemble des éléments de qui se terminent par . Quel est le nombre de codes d’un antivol à 4 chiffres  choisis entre 1 et 5 ? L’ensemble est non vide ssi et  ssi .Les ensembles  forment une partition de . Question 1 Donner les valeurs de et de si . Exercice 2Soit , est le nombre de listes croissantes de éléments de . 10. On détermine d’abord le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que lorsque . Sans urne et sans carte4. Question 3Si , exprimer en fonction de et . car on choisit trèfles parmi de façons puis carte parmi les qui restent de façons. est en bijection avec par la question 1. Question 3Le nombre de couples de parties de telles que et est égal à Vrai ou Faux ? On choisit : il y a façons de le faire.Donc . 1ère méthode : On note . Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 15 Dénombrement Ensembles et cardinal d’un ensemble Exercice 1 : [indications] Le crible. Question 3Si et ,  déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que. Il est simple de prouver que est injective. Pour tout , on note l’ensemble des parties de à éléments dont le maximum est égal à . car on choisit rois parmi de façons puis cartes parmi les qui restent de façons. Le nombre de partitions de en 2 parties est égal à. On note le nombre de surjections de dans . Ou savez-vous comment améliorerlinterface utilisateur StudyLib? 11. Correction : C’est l’ensemble . Si , soit l’ensemble des mots formés de lettres ne contenant que les lettres et et tels qu’il n’y ait pas deux consécutifs. Exercices de maths de la PTSI B du lycée Eiffel. En utilisant la question 2, il y en a . Correction : On peut démontrer ce résultat en considérant le nombre de façons de répartir objets identiques dans tiroirs ( est alors le nombre d’objets dans le tiroir ).On note les objets par un et les séparations entre les différents tiroirs par un | .Il s’agit donc de placer les séparations sur places, ce qui se fait en choisissant places parmi donc il y a choix.On termine en utilisant :  . Si , il est évident que  et que les 2 ensembles sont disjoints. En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :. Soit .On définit le -uplet égal à  est une famille croissante de entiers strictement positifs vérifiant : ,donc et . Question 2Avec les hypothèses de la question 1, nombre de façons d’avoir obtenu deux jetons portant le même numéro. Soit et l’ensemble des mots de Dyck des mots de Dyck de longueur tels que l’on obtienne autant de que de pour la première fois au rang . Des formules obtenues par dénombrement6. 96%  de réussite aux concours84% dans le TOP 1099% de recommandation à leurs amis. Correction : On note cet ensemble et si , l’ensemble des couples tels que et . Question 5Le nombre de couples de parties de telles que est égal à ? Question 1 On prend au hasard () jetons  en même temps.Nombre de tirages donnant des jetons ayant des numéros tous distincts. Question 2De combien de façons peut-on effectuer ce rangement, si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés ? .Ces ensembles étant deux à deux disjoints, . Correction : On remarque que la donnée d’une partie non vide et différente de définit une partition  et que . un autre formulaire Il existe donc deux réels et tels que si   : il est plus simple d’utiliser des puissances que des puissances dans les calculs qui suivent car on utilise et pour déterminer et . Exercice 1Soit . Correction : On note l’ensemble des paiements dans le distributeur pour une somme de euros.Soit . Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes? Vrai ou Faux ? Correction : C’est le nombre de couples de tels que diminué du nombre de couples de qui est égal à . Correction : On a une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique : avec et . Exercice 3Soit un ensemble de cardinal . Question 3 : Une application Une particule se déplace sur une droite graduée en partant de l’origine et en se déplaçant à chaque minute d’une unité vers la droite ou vers la gauche.Le nombre de façons de revenir pour la première fois à l’instant en est égal à. Les questions suivantes sont plus compliquées Question 4. L’ensemble des forme une partition de . b) Quel est le nombre de tirages bicolores ? Exercice 1Soit .Question 1 Le nombre de solutions entières de l’équation est égal à .   On peut aussi démontrer cette relation ainsi :Par la formule du triangle de Pascal (valable si ), avec , . Combien de mots peut on écrire avec le mot « TOULOUSE » si les consonnes doivent être placées en 1-ère, 4-ème et 7-ème position ? On appelle  » mot de Dyck » une chaîne de caractères, , formée de lettres et lettres , telle que, lorsque l’on dénombre les lettres de gauche à droite, en s’arrêtant à une lettre du mot, le nombre de soit toujours supérieur ou égal au nombre de . Des couples de parties de 5. Correction : On note l’ensemble des applications strictement croissantes de dans .Se donner une application strictement croissante de dans revient à choisir une partie de à éléments et à la ranger par ordre strictement croissant.Il y a donc applications strictement croissantes de  dans . est une bijection de sur , l’antécédent de de est le -uplet égal à où est le nombre de dans , avec . car on choisit 3 dames parmi 4 de façons  puis 1 carte parmi les 28 qui restent de façons. 1. Exercice 2 Soient et trois entiers naturels non nuls avec . Question 1De combien de façons peut-on effectuer ce rangement, si les livres doivent être groupés par matières ? 5. On note . Puis on choisit 3 cartes parmi les cartes sans as de façons.Le nombre de mains contenant deux as est égal à . Exercice 5Quel est le nombre de mains de 5 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant au moins un as ? 9. Exercice 2. Exercice 2.Soit . Correction : On note l’ensemble des applica- tions vérifiant les conditions de l’énoncé.Une telle application est entièrement définie par sa restriction à et sa restriction à . Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur est : . 1. Application mobile gratuite #1 pour réviser en France, groupe-reussite.fr est évalué 4,8/5 par 600 clients sur. Question 2Nombre de façons de payer dans un distributeur une somme de euros en n’utilisant que des pièces de 1 et 2 euros. Si , on note .Soient et deux entiers naturels non nuls. Soit  où si , est le -uplet tel que les premiers éléments soient des , les suivants soient des , … , et les derniers soient des  ( est une suite croissante de entiers compris entre et ). Application directe des résultats de cours2. Le nombre de mots de passe de 4 lettres est le nombre d’applications de dans l’ensemble des 20 consonnes donc est égal à . Exercice 9Quel est le nombre de matrices symétriques d’ordre dont tous les éléments sont dans ? Nombre de tirages possibles. Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans . Exercice 10On dispose de 2 jeux de jetons numérotés de 1 à , l’un blanc, l’autre noir, on les place dans une urne. ⚠️ Aviez-vous vu que les ensembles ne sont pas disjoints ? Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux. Correction : On note l’ensemble des solutions entières de  et l’ensemble des solutions entières de . Exercice 3 (suite)Question 2 Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que . Nhésitez pas à envoyer des suggestions. Exercice 3Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ? car on doit choisir éléments parmi et éléments parmi . 8. ssi . Question 5 On pose : . Quel est le nombre de mains contenant 2 as ? Correction : Soit et , les ensembles étant 2 à 2 disjoints, . Question 4Dans cette question, on tire les jetons l’un après l’autre.Quel est le nombre de tirages donnant une alternance de couleurs ? Question 1Le nombre de couples de parties de  est égal à. Les mots de Dyck de longueur 4 sont : et . Il a éléments. Exercice 1 Soit . Correction : Le nombre de tiercés (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux est le nombre de 3-listes sans répétition des 20 chevaux soit . La propriété est démontrée par récurrence. Question 2Déterminer et donner la réponse sous la forme x,y,z. Correction : C’est l’ensemble .Il a éléments. Le nombre de tirages est égal à où . Il y a manières de placer couples autour d’une table ronde en alternant un homme et une femme. Quel est le nombre de façons de choisir un groupes de élèves dans une classe de élèves pour faire un exposé ?a)        b)         c). car on choisit 2 rois parmi 4 de façons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de façons. Si , on introduit l’ensemble des paiements au distributeur où l’on a rentré pièces de 2 euros et pièces de 1 euro. Télécharge gratuitement PrepApp, Exercice 1Si , démontrer que .par un raisonnement de dénombrement. Pour déterminer ,  On choisit l’élément commun à et : choix  On choisit les autres éléments de de façons. Exercice 1Dans cet exercice, on effectue 3 tirages successifs et sans remise dans un ensemble contenant boules blanches, rouges et vertes.a) Quel est le nombre de tirages tricolores ? si ,   par la première question,   et . Vrai ou faux ? Exercice 6Quel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 contenant au moins 2 trèfles ? Alors , il suffit d’utiliser le résultat de la question 1 de l’exercice 1, . Question 1.Déterminer . Quel est le nombre de dominos (2 chiffres de à qui peuvent être répétés) ?Quel est le nombre de triominos (3 chiffres de à qui peuvent être répétés aux sommets d’un triangle équilatéral) ? Question 4Si  est dans , en déduire la valeur de .
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